A Quadratriz de Hipias de Elis

Hípias de Elis foi um matemático e filósofo sofista da Grécia antiga que viveu de 460 a 400 a.C. Foi contemporâneo a Sócrates, sendo que a maioria das informações sobre sua vida e seus pensamentos é oriunda das obras de Platão (“Hipias Maior” e “Hipias Menor”). Era conhecido por ser gabar de ter sido o que mais ganhou dinheiro por seus trabalhos intelectuais. Além disso, ficou conhecido por julgar conhecer sobre tudo e que poderia discorrer discursos sobre todo e qualquer tema.

 

A Quadratriz ou Trissectriz

Hipias desenvolveu uma curva mecânica chamada trissectriz ou quadratriz com o objetivo de resolver o problema da trissecção. Esta curva recebeu este nome porque serve tanto para trissectar um ângulo como para quadrar um círculo. A trissectriz é uma curva que não pode ser traçada apenas com régua e compasso euclidiano.

Considere o quadrado OABC, a curva  AS é a trissectriz de Hípias. Em uma mesma vertical,  as ordenadas dos pontos desta curva são menores  que as ordenadas dos pontos do quarto de círculo AC. Esta curva diz-se mecânica porque seus pontos são gerados pela interseção de  figuras geométricas em movimento.

 

 

Um segmento de reta, inicialmente coincide com OA é girado em movimento uniforme de rotação, em torno de O, a partir da posição OA, até atingir OC. Nesse mesmo instante em que começa a girar, outro segmento, coincidente com AB passa a se movimentar paralelamente a si mesmo, em movimento uniforme. Assim, ambos segmentos devem atingir OC simultaneamente.

 

 

Dessa forma, podemos verificar que, em cada instante, os segmentos em movimento têm um ponto em comum: P, T, U e S. O conjunto desses pontos é chamado de Quadratriz de Hipias.

 

Para Pesquisa:

1. Hípias de Elis. Disponível em: < https://pt.wikipedia.org/wiki/H%C3%ADpias_de_Elis >.

2. Curva de Hípias. Disponível em: < http://elementosdeteixeira.blogspot.com.br/2014/01/118-curva-de-hipias_13.html >.

3. Trissectriz ou quadratriz de Hipias. Disponível em: < http://www.matematica.br/historia/trissectriz.html >

4. A solução atribuída a Hípias. Disponível em: < http://www.prof2000.pt/users/miguel/histmat/af18/materiais/texto10.htm >

Dia Nacional da Matemática – 06 de Maio

 

Apesar deste post estar um pouco atrasado, o Dia Nacional da Matemática não poderia passar sem ser mencionado. Principalmente para nós, que amamos esta bela Ciência.

A Matemática (do grego μάθημα, transl. máthēma, 'ciência', conhecimento' ou 'aprendizagem'; e μαθηματικός, transl. mathēmatikós, 'inclinado a aprender') é a ciência do raciocínio lógico e abstrato. Ela estuda quantidades, medidas, espaços, estruturas, variações e estatísticas. Consiste em procurar padrões, formular conjecturas e, através de deduções rigorosas a partir de axiomas e definições, estabelecer novos resultados.

A matemática é utilizada como ferramenta essencial em muitas áreas do conhecimento, tais como Engenharia, Medicina, Física, Química, Biologia, e Ciências Sociais. A Matemática aplicada é o ramo da matemática que aplica o conhecimento matemático em outras áreas. Ocorre também o desenvolvimento de outros ramos, como a Estatística e a Teoria dos Jogos.

O estudo de matemática pura, ou seja, da matemática pela matemática, sem a preocupação com sua aplicabilidade, como aconteceu com os estudos das cônicas ou da Teoria dos Números feitos pelos gregos, úteis, respectivamente, em descobertas sobre astronomia feitas por Kepler no século XVII, ou para o desenvolvimento de segurança em computadores nos dias de hoje.

O “Dia Nacional da Matemática” é comemorado no dia 06 de maio, sendo a data instituída em 2004 pelo projeto de lei 3.482/04 de autoria da deputada professora Raquel Teixeira. A data foi escolhida em homenagem ao aniversário de nascimento de Júlio César de Melo e Sousa, mais conhecido com Malba Tahan, escritor e matemático brasileiro autor de diversos livros, entre eles “O Homem que Calculava”.

Júlio César de Melo e Souza, junto com Paulo Coelho e Carlos Drummond de Andrade está entre os autores brasileiros mais lidos de todos os tempos, tendo publicado em torno de 120 livros que foram traduzidos para praticamente todos os idiomas.

 

Para Pesquisa:

1. Porque zero, se temos tantos outros números?, disponível em: http://www.barone.pro.br/blog/2015/porque-zero-se-temos-tantos-outros-n%C3%BAmeros

2. Júlio César de Melo e Sousa, disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/J%C3%BAlio_C%C3%A9sar_de_Melo_e_Sousa

3. Proficiência, disponível em: http://www.proficiencia.org.br/rubrique.php3?id_rubrique=10

Jean Baptiste Joseph Fourier e sua contribuição científica para a Humanidade

 

Fourier foi um matemático e físico francês, que nasceu em 21 de março de 1768 em Auxerre e faleceu em Paris em 16 de maio de 1830. Perdeu seus pais muito cedo e foi educado em um colégio militar. Anos depois começou a carreira religiosa, e desde os treze anos começou a interessar-se pelo estudo de Matemática. Seus 62 anos de vida foram muito importantes para a Humanidade, cientificamente. Iniciou a investigação sobre a decomposição de funções periódicas em séries trigonométricas convergentes, mais conhecida como “Série de Fourier”. Além disso, contribuiu nos estudos de condução de calor e descobriu o chamado “efeito estufa”.

Estava envolvido com uma das facções que ansiavam pela Revolução Francesa e até ser preso, ministrava aulas de matemática na cidade onde nasceu. Temia a guilhotina, mas pelas mudanças políticas na época foi solto. Em 1794 foi nomeado para estudar na École Normale de Paris, fundada pela república para formar professores, sendo um dos alunos mais brilhantes, teve como professores Lagrange, Laplace e Gaspar Monge.

 

Análise de Fourier

A Análise de Fourier é uma das técnicas matemáticas que têm o maior número de aplicações práticas, sendo muito utilizada em Cálculo Numérico nas ciências aplicadas e engenharias. Além disso, é base do Processamento de Sinais (consiste na análise e/ou modificação de sinais de forma a extrair informações dos mesmos e/ou torná-los mais apropriados para alguma aplicação específica, podendo ser de forma analógica ou digital, e podem incluir sons, imagens, séries temporais, sinais de telecomunicações, como sinais de rádio e muitos outros). Dessa forma, tem papel central nas telecomunicações modernas e imagens digitais (compressão de imagens em formato JPEG).

 

Disponível em: "Fourier transform, Fourier series, DTFT, DFT" by Bob K - Own work. Licensed under CC0 via Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fourier_transform,_Fourier_series,_DTFT,_DFT.gif#/media/File:Fourier_transform,_Fourier_series,_DTFT,_DFT.gif

 

Teoria Analítica do Calor

A fundamentação do seu trabalho sobre a Propagação Térmica baseou-se na Lei de Newton do Resfriamento, na qual o fluxo de calor entre duas moléculas adjacentes (vizinhas) é proporcional à diferença extremamente pequena de suas temperaturas, sendo apresentado em 1822.

As contribuições importantes deste trabalho foram:

1) Na Matemática, a sua afirmação foi a de que qualquer função de uma variável contínua ou descontínua pode ser expandida em uma série de senóides de múltiplos da variável. Apesar dessa afirmação não ser correta, o grande avanço veio a partir da observação de que algumas funções descontínuas são a soma de séries infinitas.

2) Na Física, o conceito de homogeneidade dimensional nas equações (uma equação é formalmente correta se as dimensões corresponderem aos dois lados da igualdade). A análise dimensional com o método de representação de unidades físicas: velocidade e aceleração.

3) Também na área da Física, com a proposta de Equação Diferencial Parcial para a difusão condutora do calor, atualmente ensinada a todos os estudantes de Matemática e Física.

 

Equações Determinadas

Deixou sua obra foi inacabada, e após estudos de Lagrange e Boislaurent sobre a posição das raízes de uma equação algébrica, somente em 1829 a solução final do problema foi desenvolvida por Jacques Charles François Sturm, sendo publicada em 1831 depois da edição de Claude Louis Marie Henri Navier.

 

Sobre a descoberta do Efeito Estufa

Artigos foram publicados em 1824 e 1827 por Fourier, examinando diversas fontes de calor, sugerindo que a radiação solar incidente poderia ser responsável por uma grande parte do calor adicional, levando a possibilidade de que a atmosfera da Terra poderia agir coo um isolante, o chamado “efeito estufa”. Fourier chegou à conclusão de que os gases na atmosfera poderia formar uma barreira estável como painéis de vidro, observando que os mecanismos que determinam as temperaturas da atmosfera também deveriam incluir a convecção (é o movimento ascendente ou descendente de matéria em um fluido).

Disponível em: "EFEITO ESTUFA – Joseph Fourier (1768-1830)" por morenolc https://morenolc.wordpress.com/2014/10/22/efeito-estufa-joseph-fourier-1768-1830/

 

Para Pesquisa

1. Efeito Estufa in Química Ambiental, disponível em: http://www.usp.br/qambiental/tefeitoestufa.htm

2. Teoria Analítica do Calor (frontispício) in Instituto Ciência Hoje, disponível em: http://cienciahoje.uol.com.br/revista-ch/2011/279/imagens/memoria01.jpg/view

3. Análise de Fourier (Prof. Everton Santana), disponível em: http://cienciahoje.uol.com.br/revista-ch/2011/279/imagens/memoria01.jpg/view

4. Transformada de Fourier in Algumas perguntas sobre símica, disponível em: http://inter-geo.org/Study/Seismic/Frequency/Fourie.php?lang=pt

John Venn, o matemático que desenvolveu os Diagramas

John Venn, o matemático que desenvolveu o "Diagrama de Venn" como é conhecido hoje,  nasceu no dia 4 de agosto de 1834, na Inglaterra. Assim, na data de hoje comemoraríamos seus 180 anos. Viveu até 88 anos, vindo a falecer em 4 de abril de 1923.

O matemático John Venn somente foi para a escola aos 19 anos, ingressando em Cambridge e nesta universidade formou-se em  Matemática. No campus da Universidade de Cambridge, um dos vitrais foi feito em sua homenagem, com diagramas de conjuntos. No ano de 1862 voltou para a Universidade de Cambridge lecionando Ciência Moral, e seguiu estudando e ensinando Lógica e a Teoria da Probabilidade. Em 1883 foi eleito membro da Sociedade Real e premiado em Cambrigde.

A contribuição de John Venn para a Matemática e seu ensino veio através do desenvolvimento do Diagrama de Venn, de forma a ampliar o que já havia sido desenvolvido por Leibniz e Euler. Assim, o Diagrama de Venn foi publicado pela primeira vez na "Philosophical Magazine and Journal of Science", no artigo "Da representação mecânica e diagramática de proposições e raciocínios".

A partir da década de 1960, o estudo do Diagrama de Venn foi iniciado no ensino escolar de Matemática, na Teoria dos Conjuntos e de Funções, integrando dessa forma, o chamado "Movimento da Matemática Moderna".

Para Pesquisa:

1. Matemático John Venn lembrado com google doodle que destaca a sua obra in PTJornal.com (http://www.ptjornal.com/2014080424784/geral/tecnologia-ciencia/matematico-john-venn-lembrado-com-google-doodle-que-destaca-a-sua-obra.html)

2. John Venn in Wikipedia (http://pt.wikipedia.org/wiki/John_Venn)

3. John Venn in Somatematica (http://www.somatematica.com.br/biograf/venn.php)

Sistema de Numeração Romana

O Sistema de Numeração Romana foi desenvolvido na Roma Antiga, sendo utilizada por todo o Império Romano. Após o Sistema de Numeração Decimal, é o mais utilizado no ensino básico. Além disso, é utilizado também na representação de datas, séculos, capítulos e volumes de livros, relógios, textos jurídicos e constituições de países e órgãos internacionais.

A representação do Sistema de Numeração Romana é dada através das seguintes letras do alfabeto: As fundamentais: I (1), X (10), C(100), M (1000) e as secundárias: V (5), L(50), D (500).

Com exceção das letras secundárias V, L e D, para formarmos outros números romanos, as letras fundamentais podem ser repetidas até três vezes. E para formar números diferentes, as letras fundamentais I, X e C são colocadas à esquerda de outras de maior valor para representar a diferença deles, a partir da seguinte regra:

• I coloca-se à esquerda de V ou X 

• X coloca-se à esquerda de L ou C 

• C coloca-se à esquerda de D ou M

Assim, a regra se aplica de forma oposta, se os algarismos de menor valor são colocados à direita, significa "somar". Acompanhe a seguir:

 

IV (5 - 1)	4
IX (10 - 1)	9
XL (50 – 10)	40
XC (100 – 10)	90
CD (500 – 100)	400
CM (1000 – 100)	900

VI ( 5 + 1)	6
XIII (10 + 3)	13
LIV (50 + 4)	54
CX (100 + 10)	110

No Sistema de Numeração Romana não havia o zero, desconheciam-no. Assim, não existia nenhuma forma de representação deste valor, pois tinham como base inicial o I (1).

E, para se evitar uma dupla representação, devem ser usados os símbolos de valor mais próximo: Por exemplo o 99, sendo correta a sua representação XCIX e errada IC.

Para Pesquisa:

1. Numeração Romana ( http://pt.wikipedia.org/wiki/Numera%C3%A7%C3%A3o_romana );
2. Os difíceis algarismos romanos ( http://mscabral.pro.br/sitemauro/curioso/romanos.htm );
3. Sistema de Numeração Romano ( http://www.mundoeducacao.com/matematica/sistema-numaracao-romano.htm );
4. Números Romanos ( http://www.profcardy.com/cardicas/numeros-romanos.php?c=4 ).

Um passatempo de Probabilidade

 

Encontrei um passatempo interessante num dos livros de Ian Stewart, no qual ocorre que Mathophila coloca na mesa os quatro ases de um baralho, após embaralhar, lado a lado, virados para baixo. Sabe-se que, dois deles são de cor preta (espadas e paus) e dois são de cor vermelha (ouros e copas).

Assim, Mathophila pergunta para Innumeratus: Se virarmos duas cartas aleatoriamente, qual é a probabilidade de virarmos duas cartas com cores diferentes?

E continua sua afirmação dizendo que primeiro, as cores ou são iguais ou são diferentes e que segundo, há para cada cor, o mesmo número de cartas. Assim, Mathophila concluiu que a chance para ambas acontecerem é igual, ou seja, de 1/2. Innumeratus pensou e pareceu duvidar…

Mathophila estará certa?

 

Ao analisarmos com mais cuidado, verificamos que ao virar uma carta, dentre as outras três teremos uma da mesma cor e as outras duas de cor oposta. Assim, podemos montar seis pares diferentes:

- paus (preto) e copas (vermelho);

- paus (preto) e espadas (preto);

- paus (preto) e ouros (vermelho);

- espadas (preto) e copas (vermelho);

- espadas (preto) e ouros (vermelho);

- ouros (vermelho) e copas (vermelho).

Imagine que, dentre estes seis pares, temos que dois têm cores iguais e quatro têm cores diferentes. Dessa forma, a probabilidade de escolher um desses quatro pares é de 4/6 = 2/3.

 

 

Para Pesquisa:

Stewart, I. Incríveis passatempos matemáticos. Rio de Janeiro: Zahar, 2010. p. 171.

Estudante do Rio de Janeiro ganha seu segundo ouro na Olimpíada de Matemática

 

É com muita satisfação que faço este registro, marcado por esta postagem no blog, para homenagear seu empenho e dedicação. Continue assim menino! Parabéns!!

Cesar Pontes de Oliveira, de 15 anos, aluno da 1ª série do no Colégio Estadual Erich Walter Heine, em Santa Cruz, no Estado do Rio de Janeiro, destacou-se pelo raciocínio lógico na solução de problemas matemáticos. Ganhou, pela segunda vez consecutiva, medalha de ouro na 8ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Em toda rede, 32 estudantes foram premiados, com três de ouro, oito de prata e 21 de bronze.

Além das duas medalhas de ouro, Cesar já conquistou uma de prata e uma de bronze como menção honrosa, desde a sua estreia na competição de 2008, fundamental para seu desempenho atual.

Sua professora, Cristiane Jansen, explica que seu sucesso na Olimpíada é proveniente de sua dedicação, esforço, atenção à sua aula e se antecipa aos assuntos e desafios. Além disso, seu entusiasmo contagia os colegas, que melhoraram suas notas.

Cesar cursa o Técnico em Administração no contraturno e faz também  o Programa de Iniciação Científica Jr. (Pic), com bolsa concedida pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) aos medalhistas da OBMEP.

 

Fonte:

Jornal Folha Vale do Café  ( www.folhavaledocafe.com.br )