A importância de Cauchy para a Análise Matemática

Augustin Louis Cauchy nasceu em Paris em 21 de agosto de 1789 e faleceu aos 68 anos de idade. Foi um matemático francês que impulsionou o estudo da Análise Matemática no século XIX, com o devido rigor exigido em sua época.

Para que tenhamos uma ideia mais clara, a  Análise Matemática estuda séries infinitas, limites, cálculo diferencial e integral. Como o estudo desses assuntos demanda abstrações ou a formação de ideias intuitivas, surgiu através da necessidade de colocar o devido rigor a tais ideias. Não era bem aceito por seus colegas e alunos por sua característica de estilo teórico. Embora justamente essas características acabaram por iniciar o movimento do rigor na Análise Matemática.  

Cauchy é considerado o pai da Análise Matemática devido às contribuições de seus estudos na área. Foi professor na Universidade de Paris, na Escola Politécnica de Paris e também no Colégio da França. Seus trabalhos publicados são voltados para a fundamentação da análise, o que se deve principalmente pelo compromisso assumido na Escola Politécnica onde estudou e lecionou, na elaboração de trabalhos didáticos e científicos, escrevendo três livros nessa área: Cours d’analyse de l’École Polytechnique (1821); Résume des leçons sur le calcul infinitésimal (1823) e Leçons sur le calcul différentiel (1829).

Nos últimos dezenove anos de sua vida, Cauchy escreveu mais de 500 documentos, em diversos ramos da Matemática, da Física e da Astronomia.

Para Pesquisa:

 

1. Nasce Augustin Louis Cauchy, o pai da análise matemática 21-08-1789 D.C. in http://seuhistory.com/hoje-na-historia/nasce-augustin-louis-cauchy-o-pai-da-analise-matematica

2. Augustin Louis Cauchy (Universidade de Coimbra) in http://www.uc.pt/fctuc/dmat/departamento/bibliomat/servicos/copy_of_matematicos/Cauchy-AL

3. BARONI, Rosa L. S.; OTERO-GARCIA, S. C., Aspectos da História da Matemática de Cauchy a Lebesgue. São Paulo: Cultura Acadêmica, 2014.

Euclides de Alexandria

O matemático grego Euclides de Alexandria é considerado como o pai da Geometria Plana. Em muitos textos encontramos a referência de “Geometria Euclidiana Plana”, tamanha a sua importância para a Geometria, sendo um dos mais relevantes estudiosos da Grécia Antiga.

Euclides nasceu em 330 a.C. na Síria e realizou seus estudos na escola platônica, em Atenas. Lecionou Matemática na escola instituída por Ptolomeu I, governador do Egito na época, em Alexandria. Destacou-se como professor por seus métodos de ensino de Geometria e Álgebra.

A Geometria Euclidiana, revelada nos treze volumes de sua obra “Os Elementos” (cinco sobre geometria plana, três sobre números, um sobre proporções, um sobre os incomensuráveis e os três finais sobre a geometria no espaço), apresenta um espaço que não se modifica, através de um grupo de axiomas (proposições) consensuais, sem a necessidade de provas e essenciais na elaboração de uma teoria. A Geometria de Euclides  representa o conhecimento clássico que permeou a Idade Média e o Renascimento, somente na Era Moderna outras geometrias foram estabelecidas.

A contribuição de Euclides para a Ciência Matemática e, consequentemente para toda a humanidade se deu através de seus trabalhos nas mais diversas áreas do conhecimento.  Deixou trabalhos sobre óptica, acústica, consonância e dissonância.  Além disso, deixou escrito os primeiros tratados conhecidos sobre harmonia musical.

Dessa forma, entendemos a importância deste grande matemático e professor que, através de seus ensinamentos  deu impulso para os mais variados ramos de estudos da humanidade, como: Mecânica, Acústica, Óptica, Navegação, Biologia, Medicina, entre outros.

Para Pesquisa:

1. Euclides, matemático de Alexandria – Disponível em: < http://www.e-biografias.net/euclides/ >.
2. Euclide e l'equazione di Φ – Disponível em: < http://iisalessandrini.it/progetti/numerophi/euclide.html >.
3. Euclides – Disponível em: < http://www.infoescola.com/biografias/euclides/ >.

A invenção do Sinal de Igual (=)

 

A origem dos símbolos matemáticos  se perde no tempo desde a antiguidade. Porém o sinal de igual (=) sabemos sobre a sua invenção.

O sinal de igual foi inventado, segundo Ian Stewart no seu livro  “Incríveis Passatempos Matemáticos”, por Robert Recorde em 1557. Recorde foi um médico e matemático galês que escreveu nesse ano um livro no qual estava escrito: “A pedra de amolar o intelecto, que é a segunda parte de aritmética: contendo a extração das raízes; a prática cossike – indica a álgebra, pois os algebristas do Renascimento italiano se referiam ao desconhecido, o que atualmente chamamos de x –, com a regra da equação ; e os trabalhos dos números surdos – termo usado por algebristas italianos que significa raízes quadradas – .”

Robert Recorde escreveu em seu livro: “Para evitar a tediosa repetição dessas palavras ‘é igual a’, utilizarei, como faço frequentemente em meu trabalho, um par de retas paralelas, ou gêmeas de extensão um = , pois não pode haver .2. coisas mais iguais.”

 

Para Pesquisa:

1. Stewart, I. Incríveis passatempos matemáticos. Rio de Janeiro: Zahar, 2010. p. 30. 

2. Robert Recorde - Welsh mathematician de Mordechai Feingold em Enciclopédia Britannica. Disponível em: <http://www.britannica.com/biography/Robert-Recorde>

3. Robert Recorde – Biografia em University of St Andrews. Disponível em: <http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Recorde.html>

Georg Cantor e a Teoria dos Conjuntos

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nasceu em São Petersburgo, Rússia,  no dia 03 de março de 1845. Filho de um comerciante dinamarquês e de uma musicista russa, aos nove anos mudou-se com sua família para a Alemanha. Estudou no Instituto Federal de Tecnologia de Zurique e concluiu seu doutorado  na Universidade de Berlim em 1867.

Cantor ficou conhecido pela Teoria dos Conjuntos moderna, na qual seus estudos o permitiram elaborar o conceito de Número Transfinito, incluindo as classes numéricas dos cardinais e ordinais e estabelecendo a diferença entre estes dois conceitos. Teorias que abriram novas portas quanto ao que se refere a conjuntos infinitos.

O matemático Cantor também provou que os conjuntos infinitos não têm todos a mesma potência ("tamanho"), além de fazer a distinção entre conjuntos numeráveis (ou enumeráveis) (em inglês countable) e conjuntos contínuos (ou não-enumeráveis) (em inglês uncountable). Assim, provou que o conjunto dos números racionais Q é enumerável, enquanto que o conjunto dos números reais IR é contínuo. Dessa forma, provou que o conjunto IR é maior que o conjunto Q. A demonstração dessa teoria utilizou-se do argumento da diagonal de Cantor ou método diagonal.

 

O vídeo a seguir, através do link, mostra a teoria dos Infinitos de Cantor:

https://www.youtube.com/watch?v=f1Ak-6vMVpg

 

Nos últimos anos de vida estava tentando provar a "hipótese do contínuo", ou seja, que não existem conjuntos de potência intermédia entre os numeráveis e os contínuos, porém sem sucesso. Posteriormente em 1963, Paul Cohen demonstrou a indemonstrabilidade desta hipótese.

Durante o final de sua vida, Georg Cantor sofreu de depressão, o que acabou comprometendo sua capacidade de trabalhar, levando-o a ficar hospitalizado algumas vezes. Atualmente, a hipóse de sua doença seria provavelmente a de um transtorno bipolar (maníaco-depressivo).

A descoberta do Paradoxo de Russell o levando a um esgotamento nervoso do qual não conseguiu se recuperar. Dessa forma, começou estudar literatura e religião, desenvolvendo o conceito de Infinito Absoluto, que identificava a Deus. Durante a Primeira Guerra Mundial ficou na penúria e em 6 de janeiro de 1918, na cidade de Halle an der Saale, Alemanha faleceu em um hospital psiquiátrico.

 

 

Para Pesquisa:

1. Georg Cantor -  Matemático alemão de origem russa, in UOL Educação. Disponível em: < http://educacao.uol.com.br/biografias/georg-cantor.jhtm >.

2. Georg Cantor e o álefe-zero: O homem que colocou o infinito no bolso, in Revista Superinteressante Online. Disponível em: < http://super.abril.com.br/comportamento/georg-cantor-e-o-alefe-zero-o-homem-que-colocou-o-infinito-no-bolso >.

3. A batalha filósofica de Georg Cantor para ampliar a fronteira da matemática, in Revista Galileu Online. Disponível em: < http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT638940-2680,00.html >.

A Quadratriz de Hipias de Elis

Hípias de Elis foi um matemático e filósofo sofista da Grécia antiga que viveu de 460 a 400 a.C. Foi contemporâneo a Sócrates, sendo que a maioria das informações sobre sua vida e seus pensamentos é oriunda das obras de Platão (“Hipias Maior” e “Hipias Menor”). Era conhecido por ser gabar de ter sido o que mais ganhou dinheiro por seus trabalhos intelectuais. Além disso, ficou conhecido por julgar conhecer sobre tudo e que poderia discorrer discursos sobre todo e qualquer tema.

 

A Quadratriz ou Trissectriz

Hipias desenvolveu uma curva mecânica chamada trissectriz ou quadratriz com o objetivo de resolver o problema da trissecção. Esta curva recebeu este nome porque serve tanto para trissectar um ângulo como para quadrar um círculo. A trissectriz é uma curva que não pode ser traçada apenas com régua e compasso euclidiano.

Considere o quadrado OABC, a curva  AS é a trissectriz de Hípias. Em uma mesma vertical,  as ordenadas dos pontos desta curva são menores  que as ordenadas dos pontos do quarto de círculo AC. Esta curva diz-se mecânica porque seus pontos são gerados pela interseção de  figuras geométricas em movimento.

 

 

Um segmento de reta, inicialmente coincide com OA é girado em movimento uniforme de rotação, em torno de O, a partir da posição OA, até atingir OC. Nesse mesmo instante em que começa a girar, outro segmento, coincidente com AB passa a se movimentar paralelamente a si mesmo, em movimento uniforme. Assim, ambos segmentos devem atingir OC simultaneamente.

 

 

Dessa forma, podemos verificar que, em cada instante, os segmentos em movimento têm um ponto em comum: P, T, U e S. O conjunto desses pontos é chamado de Quadratriz de Hipias.

 

Para Pesquisa:

1. Hípias de Elis. Disponível em: < https://pt.wikipedia.org/wiki/H%C3%ADpias_de_Elis >.

2. Curva de Hípias. Disponível em: < http://elementosdeteixeira.blogspot.com.br/2014/01/118-curva-de-hipias_13.html >.

3. Trissectriz ou quadratriz de Hipias. Disponível em: < http://www.matematica.br/historia/trissectriz.html >

4. A solução atribuída a Hípias. Disponível em: < http://www.prof2000.pt/users/miguel/histmat/af18/materiais/texto10.htm >

Dia Nacional da Matemática – 06 de Maio

 

Apesar deste post estar um pouco atrasado, o Dia Nacional da Matemática não poderia passar sem ser mencionado. Principalmente para nós, que amamos esta bela Ciência.

A Matemática (do grego μάθημα, transl. máthēma, 'ciência', conhecimento' ou 'aprendizagem'; e μαθηματικός, transl. mathēmatikós, 'inclinado a aprender') é a ciência do raciocínio lógico e abstrato. Ela estuda quantidades, medidas, espaços, estruturas, variações e estatísticas. Consiste em procurar padrões, formular conjecturas e, através de deduções rigorosas a partir de axiomas e definições, estabelecer novos resultados.

A matemática é utilizada como ferramenta essencial em muitas áreas do conhecimento, tais como Engenharia, Medicina, Física, Química, Biologia, e Ciências Sociais. A Matemática aplicada é o ramo da matemática que aplica o conhecimento matemático em outras áreas. Ocorre também o desenvolvimento de outros ramos, como a Estatística e a Teoria dos Jogos.

O estudo de matemática pura, ou seja, da matemática pela matemática, sem a preocupação com sua aplicabilidade, como aconteceu com os estudos das cônicas ou da Teoria dos Números feitos pelos gregos, úteis, respectivamente, em descobertas sobre astronomia feitas por Kepler no século XVII, ou para o desenvolvimento de segurança em computadores nos dias de hoje.

O “Dia Nacional da Matemática” é comemorado no dia 06 de maio, sendo a data instituída em 2004 pelo projeto de lei 3.482/04 de autoria da deputada professora Raquel Teixeira. A data foi escolhida em homenagem ao aniversário de nascimento de Júlio César de Melo e Sousa, mais conhecido com Malba Tahan, escritor e matemático brasileiro autor de diversos livros, entre eles “O Homem que Calculava”.

Júlio César de Melo e Souza, junto com Paulo Coelho e Carlos Drummond de Andrade está entre os autores brasileiros mais lidos de todos os tempos, tendo publicado em torno de 120 livros que foram traduzidos para praticamente todos os idiomas.

 

Para Pesquisa:

1. Porque zero, se temos tantos outros números?, disponível em: http://www.barone.pro.br/blog/2015/porque-zero-se-temos-tantos-outros-n%C3%BAmeros

2. Júlio César de Melo e Sousa, disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/J%C3%BAlio_C%C3%A9sar_de_Melo_e_Sousa

3. Proficiência, disponível em: http://www.proficiencia.org.br/rubrique.php3?id_rubrique=10

Jean Baptiste Joseph Fourier e sua contribuição científica para a Humanidade

 

Fourier foi um matemático e físico francês, que nasceu em 21 de março de 1768 em Auxerre e faleceu em Paris em 16 de maio de 1830. Perdeu seus pais muito cedo e foi educado em um colégio militar. Anos depois começou a carreira religiosa, e desde os treze anos começou a interessar-se pelo estudo de Matemática. Seus 62 anos de vida foram muito importantes para a Humanidade, cientificamente. Iniciou a investigação sobre a decomposição de funções periódicas em séries trigonométricas convergentes, mais conhecida como “Série de Fourier”. Além disso, contribuiu nos estudos de condução de calor e descobriu o chamado “efeito estufa”.

Estava envolvido com uma das facções que ansiavam pela Revolução Francesa e até ser preso, ministrava aulas de matemática na cidade onde nasceu. Temia a guilhotina, mas pelas mudanças políticas na época foi solto. Em 1794 foi nomeado para estudar na École Normale de Paris, fundada pela república para formar professores, sendo um dos alunos mais brilhantes, teve como professores Lagrange, Laplace e Gaspar Monge.

 

Análise de Fourier

A Análise de Fourier é uma das técnicas matemáticas que têm o maior número de aplicações práticas, sendo muito utilizada em Cálculo Numérico nas ciências aplicadas e engenharias. Além disso, é base do Processamento de Sinais (consiste na análise e/ou modificação de sinais de forma a extrair informações dos mesmos e/ou torná-los mais apropriados para alguma aplicação específica, podendo ser de forma analógica ou digital, e podem incluir sons, imagens, séries temporais, sinais de telecomunicações, como sinais de rádio e muitos outros). Dessa forma, tem papel central nas telecomunicações modernas e imagens digitais (compressão de imagens em formato JPEG).

 

Disponível em: "Fourier transform, Fourier series, DTFT, DFT" by Bob K - Own work. Licensed under CC0 via Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fourier_transform,_Fourier_series,_DTFT,_DFT.gif#/media/File:Fourier_transform,_Fourier_series,_DTFT,_DFT.gif

 

Teoria Analítica do Calor

A fundamentação do seu trabalho sobre a Propagação Térmica baseou-se na Lei de Newton do Resfriamento, na qual o fluxo de calor entre duas moléculas adjacentes (vizinhas) é proporcional à diferença extremamente pequena de suas temperaturas, sendo apresentado em 1822.

As contribuições importantes deste trabalho foram:

1) Na Matemática, a sua afirmação foi a de que qualquer função de uma variável contínua ou descontínua pode ser expandida em uma série de senóides de múltiplos da variável. Apesar dessa afirmação não ser correta, o grande avanço veio a partir da observação de que algumas funções descontínuas são a soma de séries infinitas.

2) Na Física, o conceito de homogeneidade dimensional nas equações (uma equação é formalmente correta se as dimensões corresponderem aos dois lados da igualdade). A análise dimensional com o método de representação de unidades físicas: velocidade e aceleração.

3) Também na área da Física, com a proposta de Equação Diferencial Parcial para a difusão condutora do calor, atualmente ensinada a todos os estudantes de Matemática e Física.

 

Equações Determinadas

Deixou sua obra foi inacabada, e após estudos de Lagrange e Boislaurent sobre a posição das raízes de uma equação algébrica, somente em 1829 a solução final do problema foi desenvolvida por Jacques Charles François Sturm, sendo publicada em 1831 depois da edição de Claude Louis Marie Henri Navier.

 

Sobre a descoberta do Efeito Estufa

Artigos foram publicados em 1824 e 1827 por Fourier, examinando diversas fontes de calor, sugerindo que a radiação solar incidente poderia ser responsável por uma grande parte do calor adicional, levando a possibilidade de que a atmosfera da Terra poderia agir coo um isolante, o chamado “efeito estufa”. Fourier chegou à conclusão de que os gases na atmosfera poderia formar uma barreira estável como painéis de vidro, observando que os mecanismos que determinam as temperaturas da atmosfera também deveriam incluir a convecção (é o movimento ascendente ou descendente de matéria em um fluido).

Disponível em: "EFEITO ESTUFA – Joseph Fourier (1768-1830)" por morenolc https://morenolc.wordpress.com/2014/10/22/efeito-estufa-joseph-fourier-1768-1830/

 

Para Pesquisa

1. Efeito Estufa in Química Ambiental, disponível em: http://www.usp.br/qambiental/tefeitoestufa.htm

2. Teoria Analítica do Calor (frontispício) in Instituto Ciência Hoje, disponível em: http://cienciahoje.uol.com.br/revista-ch/2011/279/imagens/memoria01.jpg/view

3. Análise de Fourier (Prof. Everton Santana), disponível em: http://cienciahoje.uol.com.br/revista-ch/2011/279/imagens/memoria01.jpg/view

4. Transformada de Fourier in Algumas perguntas sobre símica, disponível em: http://inter-geo.org/Study/Seismic/Frequency/Fourie.php?lang=pt